Cho hàm số f(x) = { (x^2 − 3x + 2)/(x^2 − 1) khi x > 1 −x^2 khi x ≤ 1 }. Biết giới hạn của hàm số tại điểm x = 1 có dạng a/b. Tính a + 2b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 1}} = - \frac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}\).

Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\). Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\).

Do đó, a =-1; b = 2 $\Rightarrow$ a + 2b = (-1) + 2.2 = 3.