Cho hàm số f(x) = { (x^2 − 3)/(x − căn bậc hai của 3) khi x ≠ căn bậc hai của 3 2căn bậc hai của 3 khi x = căn bậc hai của 3 }. Hàm số đã cho liên tục trên tập nào sau đây?

13/25

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}\,\,khi\,\,x \ne \sqrt 3 \\2\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = \sqrt 3 \end{array} \right.$. Hàm số đã cho liên tục trên tập nào sau đây?

ℝ.

$\infty$ $\infty$ B. $\left( { - \infty ;\sqrt 3 } \right]$.

(0; + $\infty$ ).

[1; + $\infty$ ).

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Nếu $x \ne \sqrt 3 $ thì $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên $\left( { - \infty ;\sqrt 3 } \right)$ và $\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)$. Tại $x = \sqrt 3 $, ta có: $f\left( {\sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 $.

Do đó hàm số liên tục tại x = $\sqrt 3 $.

Vậy hàm số liên tục trên ℝ.