Cho hàm số f(x) = { (x^2 − 2025)/(x − 45) khi x ≠ 45 2m + 4 khi x = 45 } (m là tham số). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Hàm số xác định trên ℝ

b) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 45} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \left( {x + 45} \right) = 90\).

c) Đúng. Ta có: f(20) = 65.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 20} \left( {x + 45} \right) = 65 = f\left( {20} \right)\) nên f(x) liên tục tại x = 20.

d) Sai. Với x $\ne$ 45 thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}}\) hàm số xác định trên khoảng (-$\infty$; 45) $\cup$ (45; +$\infty$).

Suy ra hàm số liên tục trên từng khoảng (-$\infty$; 45) và (45; +$\infty$).

Hàm số liên tục trên ℝ $\iff$ hàm số liên tục tại x = 45 $\iff$\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 45} f\left( x \right) = f\left( {45} \right)\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = 2m + 4 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{\left( {x - 45} \right)\left( {x + 45} \right)}}{{x - 45}} = 2m + 4\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \left( {x + 45} \right) = 2m + 4 \Leftrightarrow 90 = 2m + 4 \Leftrightarrow m = 43\).

Suy ra m = 43 thì hàm số liên tục trên ℝ.