Cho hàm số f(x) = { (x^2 − 1)/(căn bậc hai của x − 1) khi x > 1 mx + 3 khi x ≤ 1 } (với m là tham số). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Hàm số xác định trên ℝ.

b) Sai. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = 4\]

c) Đúng. Với x > 1 thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}}\), hàm số xác định trên (1; +$\infty$). Do đó hàm số liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

d) Sai. Với x > 1 thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}}\), hàm số xác định trên (1; +$\infty$). Do đó hàm số liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

Với x < 1 thì f(x) = mx + 3, hàm số xác định trên khoảng (-$\infty$; 1). Do đó hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1).

Hàm số liên tục trên ℝ $\iff$ hàm số liên tục tại x = 1 Û\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 4,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 3} \right) = m + 3;\,\,f\left( 1 \right) = m + 3\)

Suy ra m + 3 = 4 $\iff$ m = 1 nên hàm số liên tục trên ℝ khi m = 1.