Cho hàm số f(x) = (x + a) khi x < 1; 2x khi x lớn hơn hoặc bằng 1. Biết hàm số liên tục trên R. Tính tích phân I = 0 ∫ 2 f (x)dx

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên nó phải liên tục tại điểm nối x = 1.

Giới hạn bên trái: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + a)\) = 1 + a.

Giới hạn bên phải: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2x\) = 2.

Suy ra 1 + a = 2 nên a = 1. Khi đó trên khoảng x < 1 thì f(x) = x + 1.

Tích phân trở thành:

I = \[\int_0^1 {\left( {x + 1} \right)} dx + \int_1^2 2 xdx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^1 + \left. {{x^2}} \right|_1^2\]= 1,5 + 3 = 4,5 = \(\frac{9}{2}\).