Cho hàm số f(x) = x ^5 - 4x^3 - x^2 + x + 1.Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau?

13/22

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2x\) và hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + x\). Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau?

Diện tích \(S\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,\;x = 3\)được tính bằng công thức \(S = \int\limits_1^3 {\left( {{x^3} + 2x} \right)} dx\)

ĐúngSai

Gọi \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + 2x\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)thì \(S = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)\).

ĐúngSai

\[I = 10\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx + 6} \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = } 356\].

ĐúngSai

\[J = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \].

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng: Vì hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2x\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)nên theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \(S = \int\limits_1^3 {\left( {{x^3} + 2x} \right)} dx\)

b) Sai: Vì \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + 2x\) không là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)

c) Đúng:

\(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + {x^2}\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\), \(F\left( 3 \right) = \frac{{117}}{4};\;F\left( 1 \right) = \frac{5}{4}\) nên \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx = \frac{{117}}{4} - \frac{5}{4}} = 28\]. Suy ra \[10\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx = 280} \]

\(G\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\)là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\), \(G\left( 3 \right) = \frac{{27}}{2};\;G\left( 1 \right) = \frac{5}{6}\) nên \[\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = \frac{{27}}{2} - \frac{5}{6}} = \frac{{38}}{3}\]. Suy ra \[6\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = 76} \]

Vậy \[I = 10\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx + 6} \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = } 280 + 76 = 356\]

d) Đúng: Theo tính chất của tích phân