Cho hàm số f(x) = (x-3)^2(2x-7)^3(3x-10)^2023(x-4)^2024. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m
Đáp án đúng là: B
Trường hợp 1: f(x) = 0 thì ta thu được các nghiệm bội lẻ lần lượt là x=72;x=103 (1)
Trường hợp 2: fx≠0, thực hiện biến đổi
lnfx=2lnx−3+3ln2x−7+2023ln3x−10+2024lnx−4x∈ℝ\3;103;72;4
Đạo hàm hai vế ta có: f'xfx=2x−3+62x−7+60693x−10+2024x−4
⇒f'x=fx2x−3+62x−7+60693x−10+2024x−4
Ta giải:f'x=0⇔fx2x−3+62x−7+60693x−10+2024x−4=0
⇔fx=0L2x−3+62x−7+60693x−10+2024x−4=02
Xét hàm số ux=2x−3+62x−7+60693x−10+2024x−4 có:
u'x=−2x−32−122x−72−3.60693x−102−2024x−42<0
Suy ra ux luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Với limx→±∞fx=0, khi đó ta có bảng biến thiên sau:
Khi đó (2) có các nghiệm là: x=a∈3;103;x=b∈103;72;x=c∈72;4 (3).
Từ (1) và (3), ta suy ra f(x) có 5 điểm cực trị lần lượt là a,72,b,103,c
(với 3<a<72<b<103<c<4).
Tiếp đến ta xét hàm số hx=f−x4+8x2+mx có
h'x=−4x3+16x+m−x4+8x2+mxf'−x4+8x2+mx−x4+8x2+mx=0
⇔−4x3+16x+m=04−x4+8x2+mx=05f'−x4+8x2+mx=06.
Để hàm số h(x) có nhiều cực tiểu nhất thì (4), (5), (6) phải có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.
Khi đó (4) tương đương với:
m=4x3−16x=qx→m∈q23;q923⇒m∈−6433;6433 (7).
Giải (5), khi đó phương trình tương đương với:
x=0−x3+8x+m=0**⇔m=x3−8x=rx⇒m∈r263;r−263
⇒m∈−3269;3269 (8).
Từ (7) và (8) ta suy ra m∈−3269;3269\0. (9)
Giải (6), khi đó phương trình tương đương với:
−x4+8x2+mx=72;−x4+8x2+mx=103−x4+8x2+mx=a;−x4+8x2+mx=b;−x4+8x2+mx=c
⇔−x3+8x+m=±72x;−x3+8x+m=±103x−x3+8x+m=±ax;−x3+8x+m=±bx;−x3+8x+m=±cx.
Giả sử ta có hàm số px=−x3+8x+m ta suy ra để thỏa mãn đề bài thì hàm số p(x) phải luôn cắt các đường cong −72x;−103x;−ax;−bx;−cx tại 2 điểm phân biệt tại mỗi đường.
Do c≈3,6667 (sai số rất nhỏ) nên ta xem như c=72=3,5.
Gọi x0 là hoành độ của điểm tiếp xúc giữa p(x) và y=72x.
Khi đó x0 là nghiệm của hệ:
−x03+8x0+m=72x0−3x02+8=−72x02⇔−x03+8x+m=72x06x04−16x02−7=0⇔−x03+8x0+m=72x0x0=±1,75
Suy ra: −±1,753+8±1,75+m=72±1,75⇔m=±6,64.
Như vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì ta cần có m∈−6,64;6,64 (10).
Từ (9) và (10) ta suy ra m∈−6,64;6,64\0.
Vậy T=a2−ab+b2=36,642∈115;150.