Cho hàm số f(x) = - x/2 khi x <= 1; (x^2 - 3x + 2)/(x^2 - 1) khi x >1

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1\): Đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên toàn bộ \(\mathbb{R}\), do đó nó liên tục tại \({x_0} = 1\). Ý a) SAI.

Xét hàm số \(f\left( x \right)\) tại \({x_0} = 1\):

Giá trị hàm số: \(f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\). Do đó Ý d) SAI.

Giới hạn bên trái: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}} \right) = - \frac{1}{2}\).

Giới hạn bên phải: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 1}} = - \frac{1}{2}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1\). Ý b) ĐÚNG.

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\): Vì hiệu của hai hàm số liên tục tại một điểm cũng là một hàm số liên tục tại điểm đó, nên \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1\). Do đó Ý c) SAI.