Cho hàm số f(x) = x - 2 khi x < - 1; căn bậc hai của (x^2) + 1 khi x lớn hơn hoặc bằng - 1

32/37

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2}&{{\rm{ khi }}x < - 1}\\{\sqrt {{x^2} + 1} }&{{\rm{ khi }}x \ge - 1}\end{array}} \right.\).

Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = \sqrt 5 \).

ĐúngSai

Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = - 3\).

ĐúngSai

Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \sqrt 2 \).

ĐúngSai

Hàm số tồn tại giới hạn khi \(x \to - 1\).

ĐúngSai

Giải thích

Lời giải

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai

Ta có: Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = - 4\)

Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < - 1\) và \({x_n} \to - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = {x_n} - 2\).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = - 1 - 2 = - 3\).

Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} > - 1\) và \({x_n} \to - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {x_n^2 + 1} \).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {{{( - 1)}^2} + 1} = \sqrt 2 \).

d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)\) (hay \( - 3 \ne \sqrt 2 \) ) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)\).