Cho hàm số f(x) = |x − 2|. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ thỏa mãn F(2) = 1. Tính giá trị của biểu thức F(4) − F(0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Ta viết lại hàm số f(x) dưới dạng cho bởi nhiều công thức:

f(x) = x − 2 khi x ≥ 2, và f(x) = 2 − x khi x < 2.

Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), F(x) = \(\int {\left( {x - 2} \right)} dx = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + {C_1}\).

Do F(2) = 1 nên \(\frac{1}{2} \cdot {2^2} - 2 \cdot 2 + {C_1} = 1\) suy ra 2 − 4 + C₁ = 1 hay C₁ = 3.

Vậy F(x) = \(\frac{1}{2}{x^2} - 2x + 3\) khi x ≥ 2.

Trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), F(x) = \(\int {\left( {2 - x} \right)} dx = 2x - \frac{1}{2}{x^2} + {C_2}\).

Vì F(x) liên tục tại x = 2 nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} F(x) = F(2)\).

Do đó \(2 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot {2^2} + {C_2} = 1\) suy ra 4 − 2 + C₂ = 1 hay C₂ = −1.

Vậy F(x) = \(2x - \frac{1}{2}{x^2} - 1\) khi x < 2.

Ta tính được F(4) = \(\frac{1}{2} \cdot {4^2} - 2 \cdot 4 + 3 = 8 - 8 + 3 = 3\).

Và F(0) = \(2 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot {0^2} - 1 = - 1\).

Biểu thức F(4) − F(0) = 3 − (−1) = 4.