Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) - xf'(x).lnx = 2x^2.f^2(x), với mọi x thuộc (1;dương vô cùng). Biết f(x)>0, với mọi x thược (1; dương vô cùng) và f(e) = 1/e^2. Tính diện tích

Đáp án đúng là: C

Ta có: f(x)−x⋅f'(x)⋅lnx=2x2⋅f2x⇔1x⋅f(x)−f'(x)⋅lnx=2x⋅f2x

⇔1x⋅f(x)−f'(x)⋅lnxf2x=2x⇔lnxf(x)'=2x⇒lnxf(x)=∫2xdx⇔lnxf(x)=x2+C

Mặt kháclnef(e)=e2+C⇒C=0⇒f(x)=lnxx2.

Suy ra y=x⋅f(x)=lnxx,∀x∈1;+∞.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=lnxx, y=0, x=e, x=e2 là

S=∫ee2lnxxdx=∫ee2lnxxdx=∫ee2lnxdlnx=12lnx2ee2=32 .