Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e^−x, với mọi x thuộc R và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm

42/50

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e^−x, ∀ x ∈ ℝ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

(x + 2)e^2x + e^x + C;

(x + 1)e^x + C;

(x – 1)e^x + C;

(x – 2)e^x + e^x + C.

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Ta có: f(x) + f '(x) = e^−x

Û f(x)e^x + f '(x)e^x = e^−x .e^x = 1

Û[f (x)e^x]' = 1

⇔∫fx.ex'dx=∫1dx

Û f(x)e^x = x + C'

Vì f(0) = 2 nên ta có:

2.e⁰ = 0 + C'

Þ C' = 2

Þf(x)e^x = x + 2

Þf(x)e^2x = (x + 2).e^x

Khi đó ta có:∫f(x)e2xdx= ∫(x+2)exdx

= ∫(x+2)dex

= (x + 2)e^x − ∫exd(x+2)

= (x + 2)e^x − ∫exdx

= (x + 2)e^x – e^x + C

= (x + 1)e^x + C.

Vậy ta chọn phương án B.