Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 1 và f'(x) = 2sin x + 1. Khi đó tích phân từ 0 đến pi/2 f(x) dx bằng

6/37

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 1 và f'(x) = 2sin x + 1. Khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{π^{2} + 12 π - 16}{8}$ .

B. $\frac{π^{2} - 4 π + 16}{8}$ .

C. $\frac{π^{2} + 6 π - 8}{4}$ .

D. $\frac{π^{2} - 2 π + 8}{4}$ .

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int f^{'} (x) d x = \int (2 \sin x + 1) d x = - 2 \cos x + x + C$ .

Suy ra f(x) = – 2cos x + x + C.

Lại có f(0) = 1 nên – 2 cos 0 + 0 + C = 1, suy ra C = 3.

Do đó, f(x) = – 2 cos x + x + 3.

Khi đó, $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (- 2 \cos x + x + 3) = {(- 2 \sin x + \frac{x^{2}}{2} + 3 x)|}_{0}^{\frac{π}{2}}$

$= - 2 \sin \frac{π}{2} + \frac{π^{2}}{8} + \frac{3 π}{2} - (- 2 \sin 0) = - 2 + \frac{π^{2}}{8} + \frac{3 π}{2} = \frac{π^{2} + 12 π - 16}{8}$ .