Cho hàm số f(x) =  - sin x - {1}/ {2}x

Đáp án: Sai/Đúng/Sai/ Sai.

a) \(f\left( {2\pi } \right) = - \sin 2\pi - \frac{1}{2}.2\pi = - \pi \).        Vậy a) là mệnh đề sai.

b) \(f'\left( x \right) = - \cos x - \frac{1}{2}\).                           Vậy b) là mệnh đề đúng.

c)\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - \cos x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên ta có: \(k = 0\). Phương trình chỉ có \(1\) nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

Vậy c) là mệnh đề sai.

d) Trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) thì \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}\)

Ta có\(f\left( 0 \right) = 0;\,f\left( \pi \right) = - \frac{\pi }{2}\); \(f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \sin \frac{{2\pi }}{3} - \frac{1}{2}.\frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\) .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\).

Vậy d) là mệnh đề sai.