Cho hàm số f(x) = ((sin ^2)x/2) – ((cos ^2)x/2). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên tập số thực thỏa mãn F(π) = 1. Tính giá trị của F(pi/2)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Áp dụng công thức nhân đôi của cosin, ta có biến đổi:

f(x) = \( - \left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)\) = −cos x.

Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {( - \cos x)} dx\) = −sin x + C.

Theo giả thiết F(π) = 1 nên −sin π + C = 1.

Vì sin π = 0 nên 0 + C = 1, suy ra C = 1.

Vậy F(x) = −sin x + 1.

Giá trị của \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) = −sin \(\frac{\pi }{2}\) + 1 = −1 + 1 = 0.