Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên khoảng (0; + vô cùng), có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn f(x)ln f(x)=x(f(x)-f'(x)), với mọi x thuộc (0; cộng vô cùng). Biết f(1)=f(4), giá trị f(2)

98/100

Cho hàm số \(f(x)\) nhận giá trị dương trên khoảng \((0; + \infty )\), có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn \(f(x)\ln f(x) = x(f(x) - f'(x)),\forall x \in (0; + \infty )\). Biết \(f(1) = f(4)\), giá trị \(f(2)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

\[\left( {1;{\rm{ }}3} \right).\]

\[\left( {8;{\rm{ }}10} \right).\]

\[\left( {6;{\rm{ }}8} \right).\]

\[\left( {13;{\rm{ }}15} \right).\]

Giải thích

Giải chi tiết:

Ta có \(f(x)\ln f(x) = x(f(x) - f'(x)) \Leftrightarrow \ln f(x) = x\left( {1 - \frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} \right) \Leftrightarrow \ln f(x) = x\left( {1 - {{(\ln f(x))}^\prime }} \right)\)

\( \Leftrightarrow {(x)^\prime }\ln f(x) + x{[\ln f(x)]^\prime } = x \Leftrightarrow {[x\ln f(x)]^\prime } = x \Rightarrow x\ln f(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{x^2} + C\).

Cho \(x = 1\) ta được \(\ln f(1) = \frac{1}{2} + C\).

Cho \(x = 4\) ta được \(4\ln f(4) = 8 + C\).

Theo đề \(f(1) = f(4)\) nên suy ra \(2 + 4C = 8 + C \Rightarrow C = 2\) nên \(f(x) = {e^{\frac{x}{2} + \frac{2}{x}}}\).

Vậy \(f(2) = {e^2} \approx 7,39\).

Đáp án cần chọn là: C