Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0;1] , có đạo hàm dương liên tục trên [0;1] , thỏa mãn tích phân từ 0 đến 1 của căn ((x.f'(x)/(f(x) và f(0)=1; f(1)e. Tính giá trị của f(1/2 .

Đáp án C.

Hàm dưới dấu tích phân là x.f'xfx=x.f'xfx,∀x∈0;1

Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng f'xfx, muốn vậy ta phải đánh giá theo AM−GM như sau: f'xfx+mx≥2m.x.f'xfx với m≥0 và x∈0;1

Do đó ta cần tìm tham số m≥0 sao cho ∫01f'xfx+mxdx≥2m.∫01x.f'xfxdx

Hay lnfx10+mx2210≥2m.1⇔lnf1−lnf0+m2≥2m⇔2−0+m2≥2m

Để dấu “=” xảy ra thì ta cần có 2−0+m2=2m⇔m=4

Với m=4 thì đẳng thức xảy ra nên f'xfx=4x

⇒∫f'xfxdx=∫4xdx⇔lnfx=2x2+C⇒fx=e2x2+C

Theo giả thiết f0=1f1=e2⇒C=0⇒fx=e2x2⇒f12=e