Cho hàm số f(x) = log cơ số 1/2 của (3x + 4). Những phương án nào dưới đây đúng?

29/40

Cho hàm số $f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 4} \right)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Tập xác định của hàm số là \[D = \left( {0;\, + \infty } \right)\].

2. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

3. Giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ trên nửa khoảng $\left[ {2; + \infty } \right)$ bằng $ - 1 - {\log _2}5$.

4. Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) < - {x^2} + \frac{7}{2}x - 2$ là $\left( {0;4} \right)$.

5. Gọi $S$là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$để phương trình $f\left( x \right) + {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt ${x_1};{x_2}$ thuộc khoảng $\left( {0;4} \right)$. Khi đó tổng các phần tử của tập hợp $S$ là 17.

Giải thích

1. Sai. Vì tập xác định là $D = \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)$.

2. Đúng. Vì $f'\left( x \right) = - \frac{3}{{\left( {3x + 4} \right)\ln 2}} < 0\,\,\forall x \in \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)$ nên $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D = \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)$.

3. Đúng. Vì $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)$ nên $\mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 1 - {\log _2}5$ .

4. Đúng. Xét $g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2} - \frac{7}{2}x + 2$

Ta có $g'\left( x \right) = - \frac{3}{{\left( {3x + 4} \right)\ln 2}} + 2x - \frac{7}{2},\,\,\,g''\left( x \right) = \frac{9}{{{{\left( {3x + 4} \right)}^2}\ln 2}} + 2 > 0\,\,\forall x \in \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)$ .

Suy ra $g'\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)$. Do đó $g'\left( x \right) = 0$ có tối đa 1 nghiệm.

Vì $g'\left( 0 \right) < 0,\,\,g'\left( 4 \right) > 0$ nên $g'\left( x \right) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm.

Suy ra $g'\left( x \right) = 0$ có nghiệm duy nhất $x = {x_0}$ .

$Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB (ảnh 1)$

Từ bảng biến thiên suy ra $g\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất 2 nghiệm và tìm được 2 nghiệm là $x = 0,\,\,x = 4$.

Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) < - {x^2} + \frac{7}{2}x - 2$ là $\left( {0;4} \right)$.

5. Sai. $f\left( x \right) + {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0$$ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 4} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = {\log _2}\left( {3x + 4} \right)$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{4}{3}\\{x^2} - 2x + m = 3x + 4\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{4}{3}\\m = - {x^2} + 5x + 4\end{array} \right.$.

Xét hàm số $g\left( x \right) = - {x^2} + 5x + 4$.

Ta có $g'\left( x \right) = - 2x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$.

Ta có bảng biến thiên hàm số $y = g\left( x \right)$ như sau:

$Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB (ảnh 2)$

Dựa vào bảng biến thiên ta có $8 < m < \frac{{41}}{4}$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {9;10} \right\}$.

Do đó tổng các giá trị là 19. Chọn 2, 3, 4.