Cho hàm số f(x) = log cơ số 1/2 của (3x + 4). Những phương án nào dưới đây đúng?

26/40

Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 4} \right)\). Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Tập xác định của hàm số là \[D = \left( {0;\, + \infty } \right)\].

2. Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

3. Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right)\) bằng \( - 1 - {\log _2}5\).

4. Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < - {x^2} + \frac{7}{2}x - 2\) là \(\left( {0;4} \right)\).

5. Gọi \(S\)là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\)để phương trình \(f\left( x \right) + {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0\) có đúng hai nghiệm thực phân biệt \({x_1};{x_2}\) thuộc khoảng \(\left( {0;4} \right)\). Khi đó tổng các phần tử của tập hợp \(S\) là 17.

Giải thích

1. Sai. Vì tập xác định là \(D = \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\).

2. Đúng. Vì \(f'\left( x \right) = - \frac{3}{{\left( {3x + 4} \right)\ln 2}} < 0\,\,\forall x \in \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\) nên \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(D = \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\).

3. Đúng. Vì \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 1 - {\log _2}5\) .

4. Đúng. Xét \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2} - \frac{7}{2}x + 2\)

Ta có \(g'\left( x \right) = - \frac{3}{{\left( {3x + 4} \right)\ln 2}} + 2x - \frac{7}{2},\,\,\,g''\left( x \right) = \frac{9}{{{{\left( {3x + 4} \right)}^2}\ln 2}} + 2 > 0\,\,\forall x \in \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\) .

Suy ra \(g'\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\). Do đó \(g'\left( x \right) = 0\) có tối đa 1 nghiệm.

Vì \(g'\left( 0 \right) < 0,\,\,g'\left( 4 \right) > 0\) nên \(g'\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm.

Suy ra \(g'\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = {x_0}\) .

Do đó tổng các giá trị là 19. Chọn ý 2, 3, 4. (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra \(g\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất 2 nghiệm và tìm được 2 nghiệm là \(x = 0,\,\,x = 4\).

Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < - {x^2} + \frac{7}{2}x - 2\) là \(\left( {0;4} \right)\).

5. Sai. \(f\left( x \right) + {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 4} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = {\log _2}\left( {3x + 4} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{4}{3}\\{x^2} - 2x + m = 3x + 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{4}{3}\\m = - {x^2} + 5x + 4\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = - {x^2} + 5x + 4\).

Ta có \(g'\left( x \right) = - 2x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\).

Ta có bảng biến thiên hàm số \(y = g\left( x \right)\) như sau:

Do đó tổng các giá trị là 19. Chọn ý 2, 3, 4. (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(8 < m < \frac{{41}}{4}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {9;10} \right\}\).

Do đó tổng các giá trị là 19. Chọn ý 2, 3, 4.