Cho hàm số f(x) = log _3 (2x - 3)

10/25

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {2x - 3} \right)\).

1. Tập xác định của hàm số là \[\left[ {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\].

ĐúngSai

2. \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {2x - 3} \right)\ln 3}},\forall x \in \left( {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\).

ĐúngSai

3. Phương trình \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\) có hai nghiệm phân biệt.

ĐúngSai

4. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình \(f\left( x \right) \le 4\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng 903.

ĐúngSai

Giải thích

1. Sai. Điều kiện xác định: \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\). Tập xác định của hàm số là \[\left( {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\].

2. Đúng. Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {2x - 3} \right)\ln 3}},\forall x \in \left( {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\).

3. Sai. \[f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 3} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = {x^2} - x - 1\\2x - 3 > 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\x > \frac{3}{2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\\x > \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\].

Vậy phương trình có một nghiệm \[x = 2\] .

4. Sai. \(f\left( x \right) \le 4 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 3} \right) \le 4\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 \le 81\\2x - 3 > 0\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 42\\x > \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{3}{2} < x \le 42\).

Kết hợp với điều kiện \(x \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow S = \left\{ {2\,;\,3\,;\,4\,;\,...\,;\,42} \right\}\)

Tổng các phần tử của \(S\) bằng \(2 + 3 + 4 + ... + 42 = \frac{{41}}{2} \cdot \left( {2 + 42} \right) = 902\).