Cho hàm số f(x) = ln ( x + căn bậc hai 1 + x^2 ) . Tính f''(0)

Phương pháp giải

Đạo hàm hàm logarit

Giải chi tiết

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}^{\text{'}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+\frac{{\left(1+x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-\frac{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^2}=-\frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{{\left(1+x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+x^2}}=-\frac{x}{\left(1+x^2\right)\sqrt{1+x^2}}$ Thay \(x = 0\) vào biểu thức trên ta được \(f''\left( 0 \right) = 0\).

Đáp án cần chọn là: A