Cho hàm số f(x) = ln (2x) + (m/10 + x)^2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ - 100;100]

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, tìm điều kiện để đạo hàm không âm.

Giải chi tiết:

Ta có:

          \[f'(x) = \frac{1}{x} + 2\left( {\frac{m}{{10}} + x} \right) = 2x + \frac{1}{x} + \frac{m}{5},\quad \forall x > 0.\]

Điều kiện để \(f(x)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) là:

  \[f'(x) \ge 0,\;\forall x > 0 \Leftrightarrow \frac{m}{5} \ge - 2x - \frac{1}{x},\;\forall x > 0.\]

Xét hàm:

                                             \[g(x) = - 2x - \frac{1}{x},\quad x > 0.\]

Ta có:

                                                 \[g'(x) = - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}.\]

Cho \(g'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra:

                 \[{\max _{x > 0}}g(x) = g\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = - 2\sqrt 2 .\]

Do đó:

             \[\frac{m}{5} \ge - 2\sqrt 2 \Leftrightarrow m \ge - 10\sqrt 2 \approx - 14,1.\]

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên:

                                                                  \[m \ge - 14.\]

Số giá trị nguyên của \(m\) trong đoạn \([ - 100;100]\) thỏa mãn là:

                                                         \[100 - ( - 14) + 1 = 115.\]