Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn tích phân từ 0 đến 2 của f(x)dx = 6. Tính giá trị của tích phân I = tích phân từ 0 đến căn bậc hai của 2 của x.f(x^2)dx.
Giải thích
Đáp án đúng là: A
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến số trong tích phân. Đặt \(u = {x^2}\), tính vi phân du, thực hiện đổi cận và đưa biểu thức về dạng tích phân đã cho.
Lời giải chi tiết:
Xét tích phân \(I = \int_0^{\sqrt 2 } x \cdot f({x^2})dx\).
Đặt \(u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du\).
Đổi cận:
Với \(x = 0 \Rightarrow u = 0\).
Với \(x = \sqrt 2 \Rightarrow u = 2\).
Khi đó, tích phân \(I\) được viết lại thành:\(I = \int_0^2 f (u) \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int_0^2 f (u)du\).
Vì giá trị của tích phân xác định không phụ thuộc vào ký hiệu biến số nên \(\int_0^2 f (u)du = \int_0^2 f (x)dx = 6\).
Vậy \(I = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\).