Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn phương trình hàm f(x) + f(−x) = x² + 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. f(x) không nhất thiết là hàm chẵn. Ví dụ lấy \(f(x) = {x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + 1\), ta vẫn có f(x) + f(−x) = x² + 2 nhưng f(x) không phải hàm chẵn.

b) Đúng. Ta lấy tích phân hai vế:

\[\int_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]} dx = \int_{ - 2}^2 {\left( {{x^2} + 2} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \left( {\frac{8}{3} + 4} \right) - \left( { - \frac{8}{3} - 4} \right) = \frac{{40}}{3}\].

c) Đúng. Đổi biến số t = −x cho tích phân ở vế phải, ta sẽ thu được tích phân vế trái.

d) Đúng. Từ ý c, ta có \(\int_{ - 2}^2 {\left[ {f(x) + f( - x)} \right]} dx = 2\int_{ - 2}^2 f (x)dx\).

Suy ra \(2\int_{ - 2}^2 f (x)dx = \frac{{40}}{3} \Rightarrow \int_{ - 2}^2 f (x)dx = \frac{{20}}{3}\).