Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn phương trình f(x) = 1,5x2 − 0,5 (0∫2 f (x)dx) với mọi x. Tính giá trị f(1).
Giải thích
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,5
Đặt \(A = \int_0^2 f (x)dx\) (A là một hằng số).
Khi đó hàm số có dạng: f(x) = 1,5x² − 0,5A.
Lấy tích phân hai vế từ 0 đến 2, ta có:
\(\int_0^2 f (x)dx = \int_0^2 {(1,5{x^2} - 0,5A)} dx \Rightarrow A = \left. {\left( {0,5{x^3} - 0,5Ax} \right)} \right|_0^2\).
Thay cận vào ta được: A = (0,5·8 − 0,5A·2) − 0 = 4 − A.
Suy ra 2A = 4 Þ A = 2.
Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 1,5x2 − 0,5·2 = 1,5x2 − 1.
Tính giá trị f(1) = 1,5·1² − 1 = 0,5.