Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(0) = 1. Biết đạo hàm của hàm số là f'(x) = 2x khi x < 1; 2 khi x lớn hơn hoặc bằng 1. Tính giá trị của tích phân I = 0∫2 f (x)dx

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Với x < 1, ta có họ nguyên hàm f(x) = \(\int 2 xdx\) = x² + C1.

Do f(0) = 1 nên 0² + C1 = 1, suy ra C1 = 1. Vậy f(x) = x² + 1 khi x < 1.

Với x ≥ 1, ta có họ nguyên hàm f(x) = \(\int 2 dx\) = 2x + C2.

Vì f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên nó liên tục tại x = 1, tức là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\).

Ta có 1² + 1 = 2×(1) + C2 suy ra 2 = 2 + C2 nên C2 = 0. Vậy f(x) = 2x khi x ≥ 1.

Tiến hành tính tích phân:

I = \(\int_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right)} dx + \int_1^2 2 xdx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_0^1 + \left. {{x^2}} \right|_1^2\)

 = \(\left( {\frac{1}{3} + 1} \right)\) + (4 − 1) = \(\frac{4}{3}\) + 3 = \(\frac{{13}}{3}\).