Cho hàm số f(x) liên tục trên R đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:

67/100

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:

\({x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 4x - 4}}{x},\forall x \ne 0,x \ne 1\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) có giá trị bằng bao nhiêu?

-1.

Giải thích

Cách 1:

Từ giả thiết suy ra f1−x+2x2f2x−2x=−x4+x3+4x−4x3

Ta có: ∫12f1−xdx+∫12f2x−2x.2x2 dx=∫12−x4+x3+4x−4x3 dx

⇔−∫12f1−xd1−x+∫12f2x−2xd2x−2x=0

⇔−∫0−1ftdt+∫01ftdt=0

⇔∫−10ftdt+∫01ftdt=0⇔∫−11ftdt=0

Vậy ∫−11fxdx=0 .

Cách 2:

Ta có: x2f1−x+2f2x−2x=−x4+x3+4x−4x,∀x≠0,x≠1

⇔x2f1−x+2f2x−2x=−x4+x3x+4x−4x,∀x≠0,x≠1⇔x2f1−x+2f2x−2x=x21−x+22x−2x,∀x≠0,x≠1

Chọn fx=x⇒∫−11fx.dx=∫−11x.dx=0 .