Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x + sinx là một nguyên hàm của hàm số f(x).e^x, họ tất cả các

43/50

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Biết \(x + \sin x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{e^x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f'(x){e^x}\] là

\(\cos x - \sin x + x + C\).

\( - \cos x + \sin x + x + C\).

\(\cos x - \sin x - x + C\)

\( - \cos x - \sin x - x + C\)

Giải thích

Ta có \(\int {f\left( x \right){e^x}dx = x + \sin x + C \Rightarrow f\left( x \right).{e^x} = 1 + \cos x\left( 1 \right)} \)

Lấy đạo hàm hai vế của \(\left( 1 \right)\)ta được \(f'\left( x \right).{e^x} + f\left( x \right).{e^x} = - \sin x \Leftrightarrow f'\left( x \right).{e^x} = - \sin x - \cos x - 1\)

Vậy ta có \[\int {f'\left( x \right).{e^x}dx = - \int {\left( {\sin x + \cos x + 1} \right)dx = \cos x - \sin x - x + C} } \]

Chọn đáp án C