Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [2; 8] thỏa mãn f(x) = f(10 − x) và 2∫8 f (x)dx = 12. Tính tích phân I = 2∫8 x f(x)dx

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Sử dụng tính chất đặc biệt của tích phân: \(\int_a^b h \left( x \right)dx = \int_a^b h \left( {a + b - x} \right)dx\).

Áp dụng vào I, ta có: \(I = \int_2^8 {\left( {2 + 8 - x} \right)} f\left( {2 + 8 - x} \right)dx = \int_2^8 {\left( {10 - x} \right)} f\left( {10 - x} \right)dx\).

Do giả thiết f(10 − x) = f(x), ta thu được:

\(I = \int_2^8 {(10 - x)} f(x)dx = 10\int_2^8 f (x)dx - \int_2^8 x f(x)dx\) = 10·12 − I.

Từ đó suy ra 2I = 120 Þ I = 60.