Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 3] và thỏa mãn f(x) + f(3 − x) = 5 với mọi x. Tính tích phân I = 0∫3 f (x)dx
Giải thích
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7,5
Lấy tích phân hai vế của giả thiết trên đoạn [0; 3], ta có:
\(\int_0^3 f (x)dx + \int_0^3 f (3 - x)dx = \int_0^3 5 dx = 15\) (1).
Xét \(\int_0^3 f (3 - x)dx\), đặt t = 3 − x => dt = −dx.
Đổi cận: x = 0 => t = 3; x = 3 => t = 0.
Khi đó \(\int_0^3 f (3 - x)dx = \int_3^0 f (t)( - dt) = \int_0^3 f (t)dt = \int_0^3 f (x)dx = I\).
Thay vào (1) ta được: I + I = 15 => 2I = 15 => I = 7,5.