Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 0 ; π /2 ] và thỏa mãn π /2 ∫ 0 [ 3 cos x + 2 f ′ ( x ) ] d x = − 5 ; f ( 0 ) = 1 . Tính giá trị f ( π/ 2 ) .

Ta có: \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx} \]

             \[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3\cos xdx}  + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2f'\left( x \right)dx} \]

        \[ = \left. {3\sin x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}} + \left. {2f\left( x \right)} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}}\]

        \[ = 3 + 2f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 2f\left( 0 \right) =  - 5\].

Mà f(0) = 1 suy ra \[3 + 2f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 2 =  - 5\] hay \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - 3\].