Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và tích phân từ 0 đến pi/2 f(sinx)dx = 5. Tính

Đáp án đúng là: C

Với I₁ = ∫0π2f(sinx)dx.

Đặt x = π2− t Û dx = −dt

Đổi cận :

Do đó: I₁ = ∫π20fsinπ2−tdt = ∫0π2fcostdt.

Từ đó suy ra được: f(sinx) = f(cosx)

∫0πx.f(sinx)dx = ∫0π2x.f(sinx)dx+∫π2πx.f(sinx)dx

Đổi biến u = π2 − x

Nên I₂ = ∫0π2π2−u.f(cosu)du = ∫0π2π2−x.f(sinx)dx.

Do đó: 2I₂ = ∫0π2π2.f(sinx)dx Þ I₂ = π4.∫0π2f(sinx)dx.

Với ∫0π2f(sinx)dx=5

Đặt t = π – x.

Suy ra I₁ = ∫π2πf(sin(π−t))dt = ∫π2πf(−sint)dt.

Đổi biến: v = 3π2− t

Suy ra I₁ = ∫π2πf−sin3π2−vdv = ∫π2πf(cosv)dv

Trên π2;π thì sinx = −cosx, ta có:

I₃ = ∫π2πx.f(sinx)dx.

Đổi biến : u = 3π2− x,ta được:

I₃ = ∫π2π3π2−u.fsin3π2−udu

= ∫π2π3π2−u.f(−cosu)du

Từ đó, ta có:2I₃ = ∫π2π3π2.f(−sinx)dx

Þ I₃ = ∫π2π3π4.f(−sinx)dx

Þ I = I₂ + I₃ = π.∫ππ2f(x)dx = 5π.

Vậy I = ∫0πxf(sinx)dx = 5π.