Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn đoạn (0; pi/2), thỏa mãn f(0)= căn 3

39/39

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn 0;π2, thỏa mãn f0=3 và fx.f'x=cosx.1+f2x, ∀x∈0;π2. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn π6;π2.

m=212, M=22.

m=52, M=3.

m=3, M=22.

Giải thích

Chọn A
Từ giả thiết fx.f'x=cosx.1+f2x
Media VietJack ⇒∫fx.f'x1+f2xdx=sinx+C
Đặt t=1+f2x⇒t2=1+f2x⇒tdt=fxf'xdx.
Thay vào ta được ∫dt=sinx+C⇒t=sinx+C⇒1+f2x=sinx+C.
Do f0=3⇒C=2.
Vậy 1+f2x=sinx+2⇒f2x=sin2x+4sinx+3
⇒fx=sin2x+4sinx+3, vì hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn 0;π2.
Ta có π6≤x≤π2⇒12≤sinx≤1, xét hàm số gt=t2+4t+3 có hoành độ đỉnh t=−2 loại.
Suy ra max12;1gt=g1=8, min12;1gt=g12=214.
Suy ra maxπ6;π2fx=fπ2=22, minπ6;π2fx=gπ6=212.