Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2cosx - 1/ sin^2x trên khoảng 0; pi

45/50

Cho hàm số Fx là một nguyên hàm của hàm số fx=2cosx−1sin2x trên khoảng 0; π. Biết rằng giá trị lớn nhất của Fx trên khoảng 0; π là 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

Fπ6=33−4

F2π3=32

Fπ3=−3

F5π6=3−3

Giải thích

Đáp án A

Ta có: ∫fxdx=∫2cosx−1sin2xdx=2∫cosxsin2xdx−∫1sin2xdx

=2∫dsinxsin2x−∫1sin2xdx=−2sinx+cotx+C

Do Fx là một nguyên hàm của hàm số fx=2cosx−1sin2x trên khoảng 0; π

Nên hàm số Fx có công thức dạng Fx=−2sinx+cotx+C với mọi x∈0; π

Xét hàm số Fx=−2sinx+cotx+C xác định và liên tục trên 0; π

F'x=fx=2cosx−1sin2x

Xét F'x=0⇔2cosx−1sin2x=0⇔cosx=12⇔x=±π3+k2π

Trên khoảng 0; π, phương trình F'x=0 có một nghiệm x=π3

Bảng biến thiên.

Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2cosx - 1/ sin^2x trên khoảng 0; pi (ảnh 1)

max0; πFx=Fπ3=−3+C

Theo đề bài ta có, −3+C=3⇔C=23

Do đó, Fx=−2sinx+cotx+23

Khi đó, Fπ6=33−4