Cho hàm số f(x) = e^x - x^2. Biết phương trình f''(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính x1.x2.

80/100

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{x - {x^2}}}\). Biết phương trình \(f''\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Tính \({x_1} \cdot {x_2}\)

\({x_1} \cdot {x_2} = - \frac{1}{4}\)

\({x_1} \cdot {x_2} = 1\)

\({x_1} \cdot {x_2} = \frac{3}{4}\)

\({x_1} \cdot {x_2} = 0\)

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm số \(f\left( x \right)\). Giải phương trình \(f''\left( x \right) = 0\) và sử dụng định lý Vi-ét.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {1 - 2x} \right){e^{x - {x^2}}}\).

\(f''\left( x \right) = {\left( {1 - 2x} \right)^\prime }{e^{x - {x^2}}} + \left( {1 - 2x} \right){\left( {{e^{x - {x^2}}}} \right)^\prime }\)\( = - 2{e^{x - {x^2}}} + {\left( {1 - 2x} \right)^2}{e^{x - {x^2}}} = \left( {4{x^2} - 4x - 1} \right){e^{x - {x^2}}}\).

Phương trình \(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4{x^2} - 4x - 1} \right){e^{x - {x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x - 1 = 0\).

Theo định lý Vi-ét, tích hai nghiệm là: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{1}{4}\).