Cho hàm số f(x) = (e^x)/((e^x) + 2). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Do e^x > 0 với mọi x thực nên mẫu số e^x + 2 > 0 với mọi x, do đó hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).

b) Đúng. Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm hợp: \({\left( {\ln ({e^x} + 2)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {{e^x} + 2} \right)}^\prime }}}{{{e^x} + 2}} = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 2}} = f(x)\).

c) Sai. Từ câu b suy ra họ nguyên hàm của f(x) phải là ln(e^x + 2) + C.

d) Đúng. Ta có F(x) = ln(e^x + 2) + C.

Từ giả thiết F(0) = ln(e⁰ + 2) + C = ln 3 + C = ln 3 suy ra C = 0.

Suy ra F(x) = ln(e^x + 2).

Giá trị cần tính là F(ln 2) = ln(e^{ln 2} + 2) = ln(2 + 2) = ln 4.