Cho hàm số f(x) = ((e^x) + (e^ (- x))^2). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

19/25

Cho hàm số f(x) = \({\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)^2}\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Khai triển biểu thức ta được f(x) = e^2x + 2 + e^−2x.

ĐúngSai

Họ nguyên hàm của f(x) là \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x + \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\).

ĐúngSai

Hàm số F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}\) là nguyên hàm duy nhất của f(x).

ĐúngSai

Nguyên hàm F(x) thỏa mãn F(0) = 0 có giá trị tại x = ln 2 là F(ln 2) = \(\frac{{15}}{8} + 2\ln 2\).

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Bình phương biểu thức: f(x) = e^2x + 2e^x e^−x + e^−2x = e^2x + 2 + e^−2x.

b) Sai. Lấy nguyên hàm từng số hạng: \(\int {{e^{2x}}} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}}\); \(\int 2 dx = 2x\); \(\int {{e^{ - 2x}}} dx = \frac{{ - 1}}{2}{e^{ - 2x}}\).

Tổng hợp lại ta phải được \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\).

c) Sai. Một hàm số có vô số nguyên hàm sai khác nhau một hằng số C, không thể có nguyên hàm duy nhất.

d) Đúng. Gọi F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\).

Ta có F(0) = \(\frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} + C = 0\) suy ra C = 0.

Khi đó F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}\).

Thay x =ln 2 vào ta được:

F(ln 2) = \(\frac{1}{2}{e^{2\ln 2}} + 2\ln 2 - \frac{1}{2}{e^{ - 2\ln 2}} = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2\ln 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = 2 + 2\ln 2 - \frac{1}{8} = \frac{{15}}{8} + 2\ln 2\).