Cho hàm số f(x) = e^x + 2x. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.               b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Đây là công thức nguyên hàm cơ bản.

b) Đúng. \(\int {\left( {{e^x} + 2x} \right)} dx = \int {{e^x}} dx + \int 2 xdx = {e^x} + {x^2} + C\).

c) Đúng. Đạo hàm F'(x) = (e^x + x² + 5)' = e^x + 2x = f(x), do đó đây là một nguyên hàm thỏa mãn.

d) Sai. Từ câu b ta có F(x) = e^x + x² + C.

Vì F(0) = 2 nên e⁰ + 0² + C = 2 suy ra 1 + C = 2 hay C = 1.

Khi đó hàm số phải là F(x) = e^x + x² + 1.