Cho hàm số f(x) = (e^(3x) + 1)/((e^x) + 1). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

18/25

Cho hàm số f(x) = \(\frac{{{e^{3x}} + 1}}{{{e^x} + 1}}\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Biểu thức có thể được biến đổi rút gọn thành f(x) = e^2x − e^x + 1.

ĐúngSai

Họ nguyên hàm của f(x) là \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C\).

ĐúngSai

Nếu gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F'(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x\).

ĐúngSai

Nếu nguyên hàm F(x) thỏa mãn F(0) = 1,5 thì F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x + 2\).

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương, ta có

f(x) = \(\frac{{\left( {{e^x} + 1} \right)\left( {{e^{2x}} - {e^x} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}} = {e^{2x}} - {e^x} + 1\).

b) Đúng. \(\int {\left( {{e^{2x}} - {e^x} + 1} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C\).

c) Sai. Theo định nghĩa, đạo hàm của nguyên hàm F(x) phải bằng chính hàm số f(x) ban đầu, tức là F'(x) = e^2x − e^x + 1.

d) Đúng. Với F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C\).

Do F(0) = 1,5 nên \(\frac{1}{2}{e^0} - {e^0} + 0 + C = 1,5\) suy ra 0,5 − 1 + C = 1,5 hay −0,5 + C = 1,5 nên C = 2.