Cho hàm số f(x) = e^(2x) + 2x. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn F(0) = 3/2. Tính giá trị của F(ln(căn bậc hai của 2)).

82/100

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}} + 2x\). Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\). Tính giá trị của \(F\left( {\ln \sqrt 2 } \right)\).

\(2 + \frac{1}{4}{\ln ^2}2\)

\(1 + \frac{1}{4}{\ln ^2}2\)

\(2 + {\ln ^2}2\)

\(1 + {\ln ^2}2\)

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải:

Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho bằng bảng công thức nguyên hàm. Thay giá trị \(x = 0\) theo giả thiết vào để tìm hệ số \(C\), từ đó suy ra hàm số cần tìm và tính giá trị yêu cầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{2x}} + 2x} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + {x^2} + C\).

Theo giả thiết \(F\left( 0 \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}{e^0} + {0^2} + C = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} \Leftrightarrow C = 1\).

Do đó, \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} + {x^2} + 1\).

Giá trị của \(F\left( {\ln \sqrt 2 } \right)\) là:

\(F\left( {\ln \sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln \sqrt 2 }} + {\left( {\ln \sqrt 2 } \right)^2} + 1 = \frac{1}{2}{e^{\ln 2}} + {\left( {\frac{1}{2}\ln 2} \right)^2} + 1 = \frac{1}{2}\left( 2 \right) + \frac{1}{4}{\ln ^2}2 + 1 = 2 + \frac{1}{4}{\ln ^2}2\).