Cho hàm số f(x) = (e^( - x)((e^2x)) + 1)^2). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = 4/3. Tính giá trị của biểu thức 3F(ln 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 18,5

Ta tiến hành khai triển biểu thức của hàm số:

f(x) = \({e^{ - x}}\left( {{e^{4x}} + 2{e^{2x}} + 1} \right) = {e^{3x}} + 2{e^x} + {e^{ - x}}\).

Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là:

F(x) = \(\int {\left( {{e^{3x}} + 2{e^x} + {e^{ - x}}} \right)} dx = \frac{1}{3}{e^{3x}} + 2{e^x} - {e^{ - x}} + C\).

Thay điều kiện F(0) = \(\frac{4}{3}\) ta được: \(\frac{1}{3}{e^0} + 2{e^0} - {e^0} + C = \frac{4}{3}\) suy ra \(\frac{1}{3} + 2 - 1 + C = \frac{4}{3}\)

Tương đương \(\frac{4}{3} + C = \frac{4}{3}\) hay C = 0.

Nguyên hàm hoàn chỉnh là F(x) = \(\frac{1}{3}{e^{3x}} + 2{e^x} - {e^{ - x}}\).

Tính giá trị tại x = ln 2:

F(ln 2) = \(\frac{1}{3}{e^{3\ln 2}} + 2{e^{\ln 2}} - {e^{ - \ln 2}} = \frac{1}{3}{e^{\ln 8}} + 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + 4 - 0,5 = \frac{8}{3} + \frac{7}{2} = \frac{{37}}{6}\).

Biểu thức cần tính có giá trị là \(3 \cdot \frac{{37}}{6} = \frac{{37}}{2} = 18,5.\)