Cho hàm số f(x) được xác định bởi f(x) = 2x + 1 khi x ≥ 1 và f(x) = 3x^2 khi x < 1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Tại x = 1, ta có f(1) = 2·1 + 1 = 3 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 3{x^2} = 3\). Vì giới hạn trái bằng giới hạn phải và bằng f(1) nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Đúng. Ta tính \(\int_0^1 3 {x^2}dx = \left. {{x^3}} \right|_0^1\) = 1.

c) Sai. Ta tính \(\int_1^2 {(2x + 1)} dx = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^2\) = 6 − 2 = 4.

d) Đúng. Áp dụng tính chất tích phân, ta có \(\int_0^2 f \left( x \right)dx = \int_0^1 f \left( x \right)dx + \int_1^2 f \left( x \right)dx\) = 1 + 4 = 5.