Cho hàm số f(x) = cos(x + pi) + sin(pi/2 − 2x).

Rút gọn hàm số \(f\left( x \right)\):

Ta có \({\rm{cos}}\left( {x + \pi } \right) =  - {\rm{cos}}x\) và \({\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = {\rm{cos}}2x\).

Do đó: \(f\left( x \right) =  - {\rm{cos}}x + {\rm{cos}}2x\).

a) Sai. Vì dấu đúng phải là \( - {\rm{cos}}x\).

b) Sai. Ta có \(f\left( { - x} \right) =  - {\rm{cos}}\left( { - x} \right) + {\rm{cos}}\left( { - 2x} \right) =  - {\rm{cos}}x + {\rm{cos}}2x = f\left( x \right)\).

Do \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) nên đây là hàm số chẵn.

c) Đúng. Thay \(x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) =  - {\rm{cos}}0 + {\rm{cos}}0 =  - 1 + 1 = 0\).

Vì \(f\left( 0 \right) = 0\) nên đồ thị đi qua gốc tọa độ.

d) Sai. Xét \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}2x = {\rm{cos}}x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x =  - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Nghiệm \(x = k2\pi \) được biểu diễn bởi 1 điểm (trùng với một trong các điểm của họ sau). Họ nghiệm \(x = \frac{{k2\pi }}{3}\) biểu diễn bởi 3 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác tạo thành một tam giác đều. Gộp lại ta có tổng cộng chính xác là 3 điểm phân biệt chứ không phải 4.