Cho hàm số f(x) = cos x . sin ^2 x có một nguyên hàm F (x) thỏa mãn

17/22

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x\) có một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2025\]. Tính \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\] (làm tròn đến hàng đơn vị).

Giải thích

+) Ta có \(f\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x = \cos x\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\cos x - \cos x\cos 2x} \right)\)\( = \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{4}\left( {\cos 3x + \cos x} \right)\)\( = \frac{1}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x\).

+) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x} \right){\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{4}\sin \,x - \frac{1}{{12}}\sin \,3x + C\).

Lại có: \[F\left( 0 \right) = 2025\] \[ \Rightarrow C = 2025\]\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{4}\sin \,x - \frac{1}{{12}}\sin \,3x + 2025\)\( \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4}\sin \,\frac{\pi }{2} - \frac{1}{{12}}\sin \,\frac{{3\pi }}{2} + 2025\)\( = \frac{1}{4} + \frac{1}{{12}} + 2025 = \frac{{6076}}{3} \approx 2025\).

Vậy \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) \approx 2025\].