Cho hàm số f(x) = (cos 2)/((sin^2)x)((cos^2)x). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (0;(pi/2)) thỏa mãn F(pi/4) = 1. Tính giá trị của hằng số C trong biểu thức F(x).
Giải thích
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Sử dụng công thức nhân đôi cos 2x = \({\cos ^2}x - {\sin ^2}x\), ta có biến đổi:
f(x) = \(\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx\) = −cot x − tan x + C.
Theo giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 1 nên −cot \(\frac{\pi }{4}\) − tan \(\frac{\pi }{4}\) + C = 1.
Vì cot \(\frac{\pi }{4}\) = 1 và tan \(\frac{\pi }{4}\) = 1 nên −1 − 1 + C = 1, suy ra −2 + C = 1 nên C = 3.