Đáp án D

Nhắc lại: Số cực trị hàm số y=fx được tính bằng tổng số cực trị hàm số f(x) và giao điểm của hàm số f(x) với trục hoành.

Ta có hx=fx2−2x⇔h'x=2xf'x2−2=2xf'x2−1

Xét hx=0⇔xf'x2−1=0 (1)

Nếu x≤0 thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu x>0 đặt x2=t thì (1) trở thành f't=1t (2)

Vẽ đồ thị hai hàm số y=f't, y=1t trên cùng một hệ trục tọa độ.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f(0)= 0, f(4) lớn hơn 4 (ảnh 2)

Quan sát hai đồ thị ta thấy

- Nếu 0<t≤1 thì hàm số f '(t) đồng biến, còn hàm số y=1t nghịch biến nên (2) có nghiệm duy nhất t=t0∈0;1.

- Nếu t>1 thì f't>1>1t nên (2) vô nghiệm.

Từ các nhận xét trên ta có bảng biến thiên

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f(0)= 0, f(4) lớn hơn 4 (ảnh 3)

Ta có h0=0h2>0. Nên hàm số h(x) có một điểm cực tiểu và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Từ đó ta có gx=hx có 3 cực trị.

Cho hàm số f(x) có f (pi/ 2)= 0 và f'(x)= sinx. sin^2 (2x), mọi x thuộc R