Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên R thỏa mãn

Ta có \(f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Leftrightarrow \frac{{2f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1\)

\( \Rightarrow \int {\frac{{2f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}} {\rm{d}}x = \int {\left( {2x + 1} \right)} \,{\rm{d}}x \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + C.\)

Cho \(x = 0\) ta được: \(C = \sqrt {1 + {f^2}\left( 0 \right)} = \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\). Suy ra \(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + 3\)

Lại cho \(x = 2\) ta được: \(\sqrt {1 + {f^2}\left( 2 \right)} = 4 + 2 + 3 = 9 \Rightarrow 1 + {f^2}\left( 2 \right) = 81 \Rightarrow {f^2}\left( 2 \right) = 80\)

\( \Rightarrow f\left( 2 \right) = 4\sqrt 5 \) (do \(f\left( x \right) > 0\)). Do đó\(f\left( 2 \right) = 4\sqrt 5 .\)Chọn B.