Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R và bảng xét dấu đạo hàm như sau:
31/235
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Khẳng định nào sau đây về số cực trị của hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} + 1} \right) + {x^2} - {x^3} + {x^4}\) là đúng?
Có hai cực đại và chỉ có một cực tiểu.
Có hai cực tiểu và chỉ có một cực đại.
Có đúng một cực tiểu và không có cực đại.
Có đúng một cực đại và không có cực tiểu.
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Khảo sát hàm số \(g(x)\)
Lời giải
Ta có:
\({g^\prime }(x) = 2x.{f^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x - 3{x^2} + 4{x^3} = 2x.\left[ {{f^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2} - \frac{3}{2}x + 1} \right]\)
\({x^2} + 1 \ge 1,\forall x \in (\mathbb{R})\). Dựa vào bảng biến thiên , ta có: \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (1; + \infty )\) nên \({f^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Mặt khác, ta có: \(2{x^2} - \frac{3}{2}x + 1 = 2{\left( {x - \frac{3}{8}} \right)^2} + \frac{{23}}{{32}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy \({f^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2} - \frac{3}{2}x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {g^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Bảng biến thiên:
