Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và

33/235

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \({{\rm{e}}^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \({{\rm{e}}^x}.{f^\prime }(x)\) trên \(\mathbb{R}\) và\(f(0) = 1\). Khi đó \(f(1)\) bằng:

\(\frac{{{{\rm{e}}^3} - {\rm{e}} + 2}}{2}\)

\({{\rm{e}}^2} - {\rm{e}} + 1\)

\(2{{\rm{e}}^2} - 2{\rm{e}} + 1\)

\(2{\rm{e}} - 1\)

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Công thức nguyên hàm

Lời giải

\({{\rm{e}}^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \({{\rm{e}}^x}.{f^\prime }(x)\) nên

\({{\rm{e}}^x}.{f^\prime }(x) = {\left( {{{\rm{e}}^{2x + 1}}} \right)^\prime } = 2{{\rm{e}}^{2x + 1}} \Leftrightarrow {f^\prime }(x) = \frac{{2{{\rm{e}}^{2x + 1}}}}{{{{\rm{e}}^x}}} = 2{{\rm{e}}^{x + 1}}\)

Ta có \(\int\limits_0^1 {{f^\prime }(x){\rm{d}}x = \left. {f(x)} \right|_0^1 = f(1) - f(0)} \).

\( \Rightarrow f(1) = f(0) + \int\limits_0^1 {{f^\prime }(x){\rm{d}}x} = 1 + \int\limits_0^1 {{\rm{2}}{{\rm{e}}^{x + 1}}\;} {\rm{d}}x = 1 + \left. {2{{\rm{e}}^{x + 1}}} \right|_0^1 = 2{{\rm{e}}^2} - 2{\rm{e}} + 1.\)