Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và hàm f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = 1/2f(1-x)+x^2/2 - x nghịch biến
43/50
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và hàm \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{2}f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 3;1} \right).\)
\(\left( { - 2;0} \right).\)
\(\left( {1;3} \right).\)
\(\left( { - 1;\frac{3}{2}} \right).\)
Đáp án B.
Với \(t = 1 - x,\) ta có hàm số \(y = f\left( t \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
Có:
\(y = g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\)
\(y'\left( x \right) = - f'\left( {1 - x} \right) + x - 1 = - f'\left( t \right) - t\)
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi:
\( - f'\left( t \right) - t < 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) >- t\)</>
Dựa vào đồ thị hàm số xác định được
\(f'\left( t \right) >- t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < - 3\\1 < t < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - x < - 3\\1 < 1 - x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x >4\\ - 2 < x < 0\end{array} \right.\)
Vậy chỉ có đáp án B thỏa mãn.